Question

已知函数f（x）=a lnx+（a-1）x²+1  是减函数，则对于任意的x₁，、x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|的充要条件是

 

．

Answer 1

分析：利用f（x）递减，将绝对值符号去掉，变形；通过构造函数，转化为新函数递减；等价于其导函数小于等于0恒成立，求出a的范围．

解答：解：（必要性）不妨设x₁＞x₂＞0
∵f（x）是减函数
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|即为f（x₂）-f（x₁）≥4x₁-4x₂
所以f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁
构造函数g（x）=f（x）+4x，可知g（x）单调递减
∵g（x）=alnx+（a-1）x²+4x+1
∴g′(x)=

a

x

+2(a-1)x+4=

2(a-1)x2+4x+a

x

≤0在（0，+∞）恒成立
即2（a-1）x²+4x+a≤0在（0，+∞）恒成立
对称轴为x=

1

1-a

当a=1时，不合题意
当

a-1＜0 2(a-1)( 1 1-a )2+ 4 1-a +a≤0

解得a≤-1
（充分性）当a＜-1时，易证得对于任意的x₁，、x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|
综上知，对于任意的x₁，、x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|的充要条件是a≤-1
故答案为：a≤-1

点评：本题考查利用函数的单调性定义、考查通过构造新函数、将问题转化为新函数的单调性、考查利用导函数研究函数的单调性、考查解决二次不等式恒成立问题．