Question

【题目】已知函数f（x）=（1﹣x）ex﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设 ，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣xex．

当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

∴f（x）的最大值为f（0）=0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．

当﹣1＜x＜0时，g（x）＜1等价于设f（x）＞x．

设h（x）=f（x）﹣x，

则h′（x）=﹣xex﹣1．

当x∈（﹣1，0）时，0＜﹣x＜1， ＜ex＜1，

则0＜﹣xex＜1，

从而当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0]单调递减．

当﹣1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，

即g（x）＜1．

综上，总有g（x）＜1

【解析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数的导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）利用函数的 单调性，证明不等式．