Question

【题目】设函数，其中．

若，求函数在区间上的取值范围；

若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．

若对任意的，，都有，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）； （3） .

【解析】

（1）判断在上的单调性，根据单调性求出的最值，得出值域；

（2）令，根据对称轴与区间，求出得最大值，令，解出的取值范围；

（3）设函数在区间上最大值为M，最小值为，对任意的，都有等价于，结合二次函数的图象与性质，即可求解．

因为，

所以在区间上单调减，在区间上单调增，且对任意的，都有，

若，则．

当时单调减，从而最大值，最小值．

所以的取值范围为；

当时单调增，从而最大值，最小值．

所以的取值范围为；

所以在区间上的取值范围为

“对任意的，都有”等价于“在区间上，”．

若，则，

所以在区间上单调减，在区间上单调增．

当，即时，

由，得，

从而．

当，即时，由，得，

从而．

综上，a的取值范围为区间

设函数在区间上的最大值为M，最小值为m，

所以“对任意的，，都有”等价于“”．

当时，，．

由，得．

从而．

当时，，．

由，得

．

从而．

当时，，．

由，得．

从而．

当时，，．

由，得．

从而．

综上，t的取值范围为区间