Question

（2011•福建模拟）已知函数f（x）满足：
①定义域为R；
②?x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|．记φ(x)=f(x)-

|x|

(x∈[-8，8])．
根据以上信息，可以得到函数φ（x）的零点个数为（　　）

A．15

B．10

C．9

D．8

Answer 1

分析：根据条件：③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|可以作出函数图象位于[0，2]的拆线，再由?x∈R，有f（x+2）=2f（x），可将图象向右伸长，每向右两个单位长度，纵坐标变为原两倍，由此可以作出f（x）的图象，找出其与g(x)=

|x|

(x∈[-8，8])的交点，就可以得出φ（x）的零点，问题迎刃而解．

解答：解：根据题意，作出函数y=f（x）（-8≤x≤8）的图象：

 在同一坐标系里作出g(x)=

|x|

(x∈[-8，8])的图象，可得两图象在x轴右侧有8个交点．
所以φ(x)=f(x)-

|x|

(x∈[-8，8])有8个零点，
∵任意的x，有f（x+2）=2f（x），
∴当x=-1时，f（-1+2）=2f（-1）⇒f（-1）=

1

2

f（1）=1，满足φ（x）=f(x)-

|x|

=0
而x=0也是函数φ（x）的一个零点，并且当x＜-1时，函数φ（x）没有零点
综上所述，函数φ（x）的零点一共10个
故选B

点评：此题考查了函数与方程的知识，考查了转化与化归和数形结合的数学思想，由函数的三条件基本性质进行分解，从而确定出函数f（x）在[-8，8]上的分段函数解析式，作出函数图象是本题的突破点．