Question

某大学的研究生入学考试有50人参加，其中英语与政治成绩采用5分制，设政治成绩为x，英语成绩为y，结果如下表：

（Ⅰ）求a+b+c的值；
（Ⅱ）求政治成绩为3分且英语成绩不低于3分的概率；
（Ⅲ）若x的数学期望为

72

25

，y的数学期望为

167

50

，求a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）由表格可以看出除去a，b，c以外共有40人，而题目所给的总人数是50，得到a+b+c的值．
（2）从表中可以看出，“政治成绩为（3分）且英语成绩不低于（3分）”的考生人数为9+3，用这个数字除以总数，得到要求的概率．
（3）数出表格中政治和英语在各个分数段的人数，算出概率，表示出期望，根据所给的期望的值列出方程，再用上前面做出的三个数的和，解出结果．

解答：解：（Ⅰ）考生总人数是50，
因此表中标出的总人数也应是50，
∴a+b+c+40=50，∴a+b=50-40=10；
（Ⅱ）从表中可以看出，“政治成绩为（3分）且英语成绩不低于（3分）”的考生人数为9+3=12人，
∴其概率为

12

50

=0.24．
（Ⅲ）由已知1×

5

50

+2×

b+4

50

+3×

15

50

+4×

15

50

+5×

a+8

50

=

167

50

，
1×

5

50

+2×

7+c

50

+3×

15

50

+4×

7+a+b

50

+5×

5

50

=

72

25

解得：a=1，b=2，c=7．

点评：概率与统计的综合题，自从2005年走进新高考试题中，就以崭新的姿态，在高考中占有极其重要的地位，每年出现一道大题．除了2007年考查的是统计中的线性回归方程外，有三年考查的是随机变量的分布列和数学期望问题．这是概率与统计大题考查的主阵地，预计还有可能与函数、导数、方程、数列以及不等式等知识综合考查．