Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，短轴长为4

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P（2，n），Q（2，-n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为

1

2

，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设C方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由已知b=2

3

，离心率e=

c

a

=

1

2

，a2=b2+c2 …（3分）
得a=4，所以，椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1…（4分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3）．Q（2，-3），则|PQ|=6，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=

1

2

x+t，代入

x2

16

+

y2

12

=1，
得x²+tx+t²-12=0 由△＞0，解得-4＜t＜4，由根与系数的关系得

x1+x2=-t x1x2=t2-12

，
四边形APBQ的面积S=

1

2

×6×|x1-x2|=3

48-3t2

…（6分）
故，当t=0时，Smax?=12

3

…（7分）
②∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，
则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）与

x2

16

+

y2

12

=1，
联立解得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，x1+x2=

8(2k-3)k

3+4k2

．…（9分）
同理PB的直线方程y-3=-k（x-2），可得x1+x2=

8(2k+3)k

3+4k2

所以x1+x2=

16k2-12

3+4k2

，x1-x2=

-48k

3+4k2

…（11分）kAB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1-2)+3+k(x1-2)-3

x1-x2

=

k(x1+x2)-4k

x1-x2

=

-24k

-48k

=

1

2

，
所以直线AB的斜率为定

1

2

…（13分）