Question

设不等式x²+|x|-2≤0的解集为M．
（1）求集合M；
（2）若命题“?x∈M，ax³-3x+1≥0”为真，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）解不等式，求出不等式的解集．
（2）利用全称命题为真命题，求出实数a的范围．

解答：解：（1）原不等式等价为（|x|-1）（|x|+2）≤0，即|x|-1≤0，解的-1＜x＜1，所以M=（-1，1）．
（2）因为?x∈M，所以-1＜x＜1，
若x=0，则1≥0恒成立，
若0＜x≤1，则a≥

3x-1

x3

，f(x)=

3x-1

x3

，
则设f′(x)=

3x3-3x2(3x-1)

(x3)2

=

-3(2x-1)

x4

，
由f'（x）＞0，解得0＜x＜

1

2

，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，解得

1

2

＜x≤1，此时函数单调递减，
所以当x=

1

2

时，函数取得极大值，同时也是最大值为f(

1

2

)=4，所以此时a≥4．
若-1≤x＜0，则，a≤

3x-1

x3

，设f′(x)=

3x3-3x2(3x-1)

(x3)2

=

-3(2x-1)

x4

，
当-1≤x＜0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数单调递增，
所以此时当x=-1时，函数取得最小值为f(-1)=

-3-1

(-1)3

=4，所以此时a≤4．
所以a=4．

点评：本题主要考查全称命题的真假判断和应用．