Question

（1）用定义法证明函数f（x）=x+

4

x

在x∈[2，+∞）上是增函数；
（2）求g(x)=2x+

8

x

在[4，8]上的值域．

Answer 1

分析：（1）可分五步进行：①取值；②作差；③变形；④判号；⑤结论．
（2）g（x）=2f（x），由（1）知f（x）在[4，8]上单调递增，可求其值域，从而可得g（x）的值域．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x1+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）=

(x1-x2)(xxx2-4)

x1x2

，
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，∴x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在x∈[2，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知：f（x）在[4，8]上是增函数．
∴f(x)max=f(8)=

17

2

，f（x）_min=f（4）=5，
∵g（x）=2f（x），
∴g（x）的值域为[10，17]．

点评：本题考查函数的单调性及其应用，定义法证明单调性的一般步骤：①取值；②作差；③变形；④判号；⑤结论．本题（2）问注意利用g（x）与f（x）的关系求解．