Question

已知函数f（x）=2x+1，g（x）=x，x∈R，数列{a_n}，{b_n}满足条件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1），n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n+1}为等比数列；
（2）令c_n=

2n

an•an+1

，T_n是数列{c_n}的前n项和，求使T_n＞

2011

2012

成立的最小的n值．

Answer 1

分析：（1）由题意，2b_n+1=b_n+1，两边同加1，即可证得数列{b_n+1}为首项是1，公比为2的等比数列；
（2）求出b_n+1=2^n-1，可得a_n=2b_n+1=2ⁿ-1，对c_n=

2n

an•an+1

裂项，从而可求T_n的值，利用T_n＞

2011

2012

，即可求得使T_n＞

2011

2012

成立的最小的n值．

解答：（1）证明：由题意，2b_n+1=b_n+1，
∴2（b_n+1）=b_n+1+1
∵a₁=2b₁+1=1，∴b₁=0，∴b₁+1=1≠0
∴数列{b_n+1}为首项是1，公比为2的等比数列；
（2）解：由（1）知，b_n+1=2^n-1，∴a_n=2b_n+1=2ⁿ-1
∴c_n=

2n

an•an+1

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

∴T_n=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）=1-

1

2n+1-1

∵T_n＞

2011

2012

，∴2ⁿ⁺¹＞2013，∴n≥10
∴使T_n＞

2011

2012

成立的最小的n值为10．

点评：本题考查了等比数列的概念，以及数列的求和的运用．解决该试题的关键是能利用关系式，得到任意相邻两项的关系式，利用定义证明．