Question

已知在四棱锥P-ABCD，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段PA，BC的中点．
（1）证明：BE∥平面PDF；
（2）证明：PF⊥FD；
（3）若PA=2，求直线PD与平面PAF所成的角．

Answer 1

分析：（1）以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PFD的法向量

n

和向量

BE

，由

n

•

BE

=0，能够证明BE∥平面PDF．
（2）在空间直角坐标系中，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD．
（3）求出平面PAF的法向量及PD的方向向量，利用向量法能求出直线PD与平面PAF所成的角．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
∵AB=1，AD=2，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．
不妨令P（0，0，t），则E（0，0，

t

2

），
∴

PF

=（1，1，-t），

DF

=（1，-1，0），

BE

=（-1，0，

t

2

），
设平面PFD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • PF =0 n • DF =0

，∴

x+y-tz=0 x-y=0

，
令z=1，解得：x=y=

t

2

，
∴

n

=(

t

2

，

t

2

，1)，
∴

BE

•

n

=-

t

2

+0+

t

2

=0，
∴

BE

⊥

n

，
∵BE不包含于平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）∵

PF

=（1，1，-t），

DF

=（1，-1，0），
∴

PF

•

DF

=1×1+1×（-1）+（-t）×0=0，
∴

PF

⊥

DF

，
∴PF⊥FD．
（3）当PA=2时，P（0，0，2），A（0，0，0），
F（1，1，0），D（0，2，0），
∴

AP

=（0，0，2），

AF

=（1，1，0），

PD

=（0，2，-2），
设平面PAF的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，
则

AP

•

m

=0，

AF

•

m

=0，
∴

2z1=0 x1+y1=0

，取x₁=1，得

m

=(1，-1，0)，
设直线PD与平面PAF所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

m

，

PD

＞|=|

0-2+0

4+4 • 1+1

|=

1

2

，
∴θ=

π

6

，
∴直线PD与平面PAF所成的角为

π

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查两条异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，解题时要恰当地建立空间直角坐标系，利用向量法求解．