Question

已知函数f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x．
（Ⅰ）若函数y=f（x）和函数y=g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，求实数m的值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x的解析式，我们易求出他们导函数的解析式，进而求出导函数大于0的区间，构造关于a的不等式，即可得到实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，则函数h（x）=f（x）-g（x）=2x²-8lnx-14x与y=m的图象有且只有一个交点，求出h'（x）后，易求出函数的最值，分析函数的性质后，即可得到满足条件的实数m的值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2x-

8

x

=

2(x+2)(x-2)

x

（x＞0）
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时，f'（x）＞0，
要使f（x）在（a，a+1）上递增，必须a≥2g（x）=-x²+14x=-（x-7）²+49
如使g（x）在（a，a+1）上递增，必须a+1≤7，即a≤6
由上得出，当2≤a≤6时f（x），g（x）在（a，a+1）上均为增函数
（Ⅱ）方程f（x）=g（x）+m有唯一解?

y=m y=2x2-8lnx-14x

有唯一解
设h（x）=2x²-8lnx-14x
h′(x)=4x-

8

x

-14=

2

x

(2x+1)(x-4)（x＞0）h'（x），h（x）随x变化如下表

x	（0，4）	4	（4，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	极小值-24-16ln2	↗

由于在（0，+∞）上，h（x）只有一个极小值，
∴h（x）的最小值为-24-16ln2，
当m=-24-16ln2时，方程f（x）=g（x）+m有唯一解．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．