Question

【题目】已知函数 （，为自然对数的底数，）.

（1）若函数仅有一个极值点，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，有两个零点（）.且满足.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）由函数的解析式可得，则满足题意时,方程必无解，分类讨论：①当时，符合题意；②当时，，据此可得.即实数的取值范围是.

（2）由（1）的结论可得，知当时，为的唯一极小值点，且，，则，故.要证明，即证.，可转化为，即，据此构造函数，结合函数的性质可知在区间上是减函数，，等价于成立，则原命题得证.

试题解析：

（1）

，

由，得或

因为仅有一个极值点，

所以关于的方程必无解，

①当时，无解，符合题意；

②当时，由，得，

故由，得.

故当时，若，

则，此时为减函数，

若，则，此时为增函数，

所以为的唯一极值点，

综上，可得实数的取值范围是.

（2）由（1），知当时，为的唯一极值点，且是极小值点，

又因为当时，，

，，

所以当时，有一个零点，

当时，有另一个零点，

即，

且，

.①

所以.

下面再证明，即证.

由，得，

因为当时，为减函数，

故只需证明，

也就是证明，

因为，

由①式，

可得.

令，

则.

令，

因为为区间上的减函数，且，所以，即

在区间上恒成立，

所以在区间上是减函数，即，所以，

即证明成立，

综上所述，.