Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱A₁B₁、A₁D₁的中点，则点B到平面AMN的距离是

2

3

．

Answer 1

分析：连接AC、BD交于点O，连接A₁C₁与MN的交点为E，连接AE、B₁D₁，作OH⊥AE于H．然后利用三角形的中位线定理和平行四边形对边平行，证明出MN∥BD，结合线平行的判定定理，得到BD∥平面AMN，所以点B到平面AMN的距离，即为直线BD到平面AMN的距离．接下来利用直线与平面垂直的判定定理，证明出OH⊥平面AMN，得OH即为直线BD到平面AMN的距离．这样就证出了OH即是点B到平面AMN的距离，最后利用Rt△A₁EA∽Rt△HAO，可以求出OH的长，求出点B到平面AMN的距离．

解答：解：连接AC、BD交于点O，连接A₁C₁与MN的交点为E，
连接AE、B₁D₁，作OH⊥AE于H，
可得OH即是点B到平面AMN的距离．下面进行证明
∵△A₁B₁D₁中，M、N分别是棱A₁B₁、A₁D₁的中点，
∴MN∥B₁D₁
∵B₁D₁∥BD
∴MN∥BD
∵MN⊆平面AMN，BD?平面AMN
∴BD∥平面AMN
点B到平面AMN的距离，即为直线BD到平面AMN的距离
∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD
∴BD⊥AA₁
又∵BD⊥AC，AC∩A₁A=A，AC、A₁A⊆平面AA₁C₁C
∴BD⊥平面AA₁C₁C
∵MN∥BD
∴MN⊥平面AA₁C₁C
∵OH⊆平面AA₁C₁C
∴OH⊥MN
又∵OH⊥AE，MN∩AE=E，MN、AE⊆平面AMN
∴OH⊥平面AMN
OH即为直线BD到平面AMN的距离
∴OH即是点B到平面AMN的距离．
∵在正方形A₁B₁C₁D₁中，边长为1，
M、N分别是A₁B₁、A₁D₁的中点
∴A₁E=

1

4

A₁C₁=

2

4

∴Rt△A₁AE中，AE=

A 1A 2+A1E2

=

12+( 2 4 )2

=

3

4

2

在Rt△HAO中，AO=

1

2

AC=

2

2

∵∠HAO=∠A₁EA=90°-∠A₁AE
∴Rt△A₁EA∽Rt△HAO
∴

AA 1

OH

=

AE

AO

⇒OH=

AA 1•AO

AE

=

2

3

故答案为：

2

3

点评：本题综合考查了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定，以及空间点、线、面间的距离计算等知识点，考查了空间想象力，属于中档题．