Question

（2012•房山区一模）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB，a=2，c=

19

．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知的等式变形后代入，即可求出tan（A+B）的值；
（II）由tan（A+B）的值，及A和B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A+B的度数，进而得出C的度数，得到sinC和cosC的值，利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，将a，c及cosC的值代入，求出b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（I）∵tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB=

3

（1-tanAtanB），
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3 (1-tanAtanB)

1-tanAtanB

=

3

；
（II）由（I）及A和B都为三角形的内角，得到A+B=

π

3

，
∴C=

2π

3

，
∵c²=a²+b²-2abcosC，a=2，c=

19

，cosC=-

1

2

，
∴19=4+b²-2×2×b×（-

1

2

），即（b-3）（b+5）=0，
解得：b=3或b=-5（舍去），
∴b=3，又sinC=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×3×

3

2

=

3 3

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．