Question

【题目】某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如下频率分布直方图：

由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布，其中近似为样本平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表).

（1） 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；

（2） 现依次抽取个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件表示“连续3人的旅游消费支出超出”.若表示的概率，为常数)，且.

（ⅰ）求，及，；

（ⅱ）判断并证明数列从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义.

参考数据：，，

Answer 1

【答案】（1）万.（2）（ⅰ），，，.（ⅱ）数列从第三项起单调递减，证明见解析，用概率统计知识解释其实际意义见解析

【解析】

（1）由直方图求得的平均数，结合正态分布的概率计算，即可容易求得旅游费用支出不低于元的概率，再乘以即可；

（2）（ⅰ）根据题意，即可容易求得，再列出方程，即可求得；

（ⅱ）根据递推公式计算，即可判断数列的单调性；再结合实际问题，进行解释.

（1）直方图可得

∵，，

∴旅游费用支出不低于元的概率为

，

∴，

估计年有万的游客在本市的年旅游费用支出不低于元.

（2）（ⅰ），

，

所以

即

解得

（ⅱ）数列从第三项起单调递减

，

故

又，所以，

即从第三项起数列单调递减.

由此，可知随着抽查人数的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”

的可能性会越来越小. （即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件)