Question

【题目】已知函数.

（1）当时，判断是否为的极值点，并说明理由；

（2）记.若函数存在极大值，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）将代入可得，即，对函数进行求导，令，再次进行求导，通过与0的关系，得到的单调性及最小值为0，即恒成立，可得结果；（2）求导可得，对进行讨论，分为，，和四种情形，判断单调性得极值，得其极值，再求出的最值即可.

试题解析：（1）由，可得，故．

不是的极值点.

理由如下：．

记，则.

由，解得；由，解得，

所以在单调递减，在单调递增，

故 ，即在恒单调递增，

故不是的极值点．

（2）依题意，．

则．

①时，在恒成立，在恒成立，

所以在上先减后增，故在上有极小值，无极大值，应舍去．

②时，在恒成立，在恒成立，

所以在上先减后增，故在上有极小值，无极大值，应舍去．

③时，由得和，

	大于	小于	大于
	单调递增	单调递减	单调递增

因为，故有下列对应关系表：

故，

记，

因为在上单调递减，

所以．

④当时，因为，故

	大于	小于	大于
	单调递增	单调递减	单调递增

故，

设，

记，

则，令得和（舍去），

	小于	大于
	单调递减	单调递增

故．