Question

底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=a，PA⊥平面ABCD，点E在PD上，且=2．

(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大小；

(Ⅱ)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC，若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)作EM⊥AD于M，∵PA⊥面ABCD．

∴面PAD⊥面ABCD

作MN⊥AC于N，连接NE，则NE⊥AC，

∴∠ENM为二面角E-AC-D的平面角，

∵EM=PA=a,AM=a，

∴MN=AM·sin60°=．

∴tanENM=．

∴二面角E-AC-D的大小为30°．

(Ⅱ)取PC中点F，PE中点Q，连接FQ、BF、BQ，

设AC∩BD=O，连OE，

则OE∥BQ，QF∥CE，∴平面BQF∥平面ACE，

∴在棱PC上存在中点F，使BF∥平面AEC．

解法二：(1)建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，0，0)，

B(a，a,0),D(0，a，0)，C(a，a,0)，P(0，0，a)，E(0，a，a),

∴=(0，a，a)，=(a，a,0)，

设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),

则可得n=(,1)，

而平面ACD的法向量为n₁==(0,0,a),

∴cos＜n·n₁＞=,

∴二面角E-AC-D的大小为30°.

(Ⅱ)由(Ⅰ)=(a，a,-a),

设F为PC上一点，且=.

又=(a，a,a)

∴=(a(λ-1)，(1+λ)a,a(1-λ)）．

∴,

∴=λ₁(a，a，0)+λ₂(0，a，a)，

则解得

∴当λ=时，=+，

∴与共面，此时F为BC中点,

又BF平面ACE，∴BF∥平面ACE．

解法三：（Ⅱ）取PC中点F，由

=

=

=.

∴BF与AE共面, 又BF平面ACF，∴BF∥平面ACE．