Question

（2013•山东）如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D-GH-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；
（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D-GH-E的余弦值．

解答：（1）证明：如图，

∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，
又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，
则EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH；
（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，
以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=BP=BQ=2，
则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），
因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，

2

3

，

2

3

）．
则

DC

=(-1，0，0)，

CH

=(0，-

1

3

，

2

3

)

EF

=(-1，0，0)，

FH

=(0，

2

3

，-

1

3

)．
设平面GCD的一个法向量为

m

=(x1，y1，z1)
由

m • DC =0 m • CH =0

，得

-x1=0 - 1 3 y1+ 2 3 z1=0

，取z₁=1，得y₁=2．
所以

m

=(0，2，1)．
设平面EFG的一个法向量为

n

=(x2，y2，z2)
由

n • EF =0 n • FH =0

，得

-x2=0 2 3 y2- 1 3 z2=0

，取z₂=2，得y₂=1．
所以

n

=(0，1，2)．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2×1+1×2

5 5

=

4

5

．
则二面角D-GH-E的余弦值等于-

4

5

．

点评：本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出H点的坐标，是中档题．