Question

某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

（1）求ξ的分布及数学期望；

（2）记“函数f(x)=x²-3ξx＋1在区间［2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率.

Answer 1

思路分析： （1）写出ξ的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出P（ξ=k）（ｋ=1,3），写出ξ的分布列，求出Eξ.（2）利用二次函数的单调性求解.

解：（1）分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”.

为事件A₁，A₂，A₃.由已知A₁，A₂，A₃相互独立，P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6. 

客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.

P（ξ=3）=P（A₁·A₂·A₃）+P（）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P（）P（）P（）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

P（ξ=1）=1-0.24=0.76.

所以ξ的分布列为

ξ	1	3
P	0.76	0.24

Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

（2）解法一：因为f(x)=(x-ξ)²+1-ξ²,

所以函数f(x)=x²-3ξx+1在区间［ξ,+∞）上单调递增，

要使f(x)在［2,+∞)上单调递增，当且仅当ξ≤2,即ξ≤.

从而P(A)=P(ξ≤)=P(ξ=1)=0.76.

解法二：ξ的可能取值为1，3.

当ξ=1时，函数f(x)=x²-3x+1在区间［2,+∞)上单调递增，

当ξ=3时，函数f(x)=x²-9x+1在区间［2,+∞)上不单调递增.

所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.

    深化升华 本题主要考查离散型随机变量分布列、数学期望和事件的概率等问题.一般解法是先由题意求出分布列，再由随机变量的数学期望公式代入求解即可.这一知识点应是未来高考中的一个热点.