Question

【题目】已知向量且函数,若函数f(x)的图象上两个相邻的对称轴距离为.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的表达式并其对称轴;

(3)若方程f(x)=m(m>0)在时,有两个不同实数根x1,x2,求实数m的取值范围,并求出x1+x2的值.

Answer 1

【答案】(1);(2), 对称轴为;(3),,.

【解析】

(1) 根据向量和函数，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，，再根据函数f(x)的图象上两个相邻的对称轴距离为求解.

(2)依据左加右减，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后，得到函数，令求其对称轴.

(3)作出函数f(x)在上图象，根据函数y=f(x)与直线y=m在上有两个交点求解.再令，求对称轴.

(1)，

∵函数f(x)的图象上两个相邻的对称轴距离为，

∴，

∴，

∴ω=1，

故函数f(x)的解析式为;

(2)依题意，，

令，则，

∴函数g(x)的对称轴为;

(3)∵，

∴，

∴，

函数f(x)在上的草图如下，

依题意，函数y=f(x)与直线y=m在上有两个交点，则，

令，则，

∴函数f(x)在上的对称轴为，则.