Question

（2011•深圳二模）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是

3

+

2

，

3

-

2

的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  4

• C．

  3

  2

  或

  3

  4

• D．

  3

  2

  或

  3

Answer 1

分析：由题意，根据等差数列及等边数列的性质分别求出AB与BC的值，再由A的度数，求出sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，根据A和C的度数，利用内角和定理求出B的度数，根据B的度数判断出三角形的形状为直角三角形或等腰三角形，分别求出三角形的面积即可．

解答：解：∵AB，BC分别是

3

+

2

，

3

-

2

的等差中项与等比中项，
∴AB=

3

，BC=1，又A=30°，
根据正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

得：sinC=

3

2

，
∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，
当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，

则△ABC的面积为

1

2

×

3

×1=

3

2

；
当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，

过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，
在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=

1

2

，
则△ABC的面积为

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

，
综上，△ABC的面积为

3

2

或

3

4

．
故选C

点评：此题考查了等差数列、等比数列的性质，正弦定理以及特殊角的三角函数值，利用数形结合及分类讨论的思想，由C的度数有两解，得到三角形的形状有两种，故求出的三角形面积有两解，不要漏解．