Question

设a为实数，记函数f(x)=的最大值为g(a).

（1）设t=，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t);

（2）求g(a);

（3）试求满足g(a)=g()的所有实数a.

Answer 1

解:（1）∵t=，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,

∵t²=2+∈［2,4］,t≥0①

∴t的取值范围是［,2］.由①得t²-1,

∴m(t)=a(t²-1)+t=at²+t-a,t∈［,2］.

（2）由题意知，g(a)即为函数m(t)= at²+t-a,t∈［,2］的最大值.

注意到直线t=-是抛物线m(t)= at²+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论.

①当a＞0时，函数y=m(t),t∈［,2］的图象是开口向上的抛物线的一段，

由t=-＜0知，m(t)在［,2］上单调递增，

∴g(a)=m(2)=a+2.

②当a=0时，m(t)=t,t∈［,2］,∴g(a)=2.

③当a＜0时,函数y=m(t),t∈［,2］的图象是开口向下的抛物线的一段，

若t=-∈(0, )，即a≤-,则g(a)=m()=.

若t=-∈(,2)，即-＜a≤-,则g(a)=m(-)=-a-.

若t=-∈(2,+∞)，即-＜a＜0,

则g(a)=m(2)=a+2.

综上，g(a)=

（3）解法1：

情形1：当a＜-2时, ＞-，此时g(a)=，g()=+2.

由2+=，解得a=-1-，与a＜-2矛盾.

情形2：当-2≤a＜-时，-＜≤-时，此时g(a)= ,g()=--,由=--,解得a=-与a＜-矛盾.

情形3：当-≤a≤-时，-≤≤-，此时g(a)= =g().

所以-≤a≤-.

情形4：当-＜a≤-时，-2≤＜-，此时g(a)=-a-，

g()=,由-a-=,解得a=-,与a＞-矛盾.

情形5：当- ＜a＜0时，＜-2，此时g(a)=a+2,g()=.

由a+2=,解得a=-2,与a＞-矛盾.

情形6：当a＞0时，＞0，此时g(a)=a+2,g()=+2,

由a+2=+2，解得a=±1,由a＞0知a=1.

综上知，满足g(a)=g()的所有实数a为-≤a≤-或a=1.