Question

（文科）在体积为π4

3

的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=

2

，A，C两点的球面距离为

3

3

π，则球心到平面ABC的距离为（　　）

Answer 1

分析：根据球的体积，求出球的半径．再根据A、C两点的球面距离，可求得

AC

所对的圆心角的度数，进而根据余弦定理可得线段AC的长度为

3

，判断△ABC为直角三角形，说明线段AC的中点即为ABC所在平面的小圆圆心，然后求出球心到平面ABC的距离．

解答：解：设球的半径为R，则V=

4

3

πR3=4

3

π，
∴R=

3

．
设A、C两点对球心张角为θ，则

AC

=Rθ=

3

θ=

3

3

π，
∴θ=

π

3

，
∴由余弦定理可得：AC=

3

，
∴AC为ABC所在平面的小圆的直径，
∴∠ABC=90°，
设ABC所在平面的小圆圆心为O'，则球心到平面ABC的距离为d=OO′=

R2-BO′2

=

3-( 3 2 )2

=

3

2

．
故选C．

点评：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离．考查空间想象能力，计算能力．