Question

下列命题正确的是（　　）
①两个奇函数的积仍是奇函数；
②两个增函数的积仍是增函数；
③函数y=lnx对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

；
④函数y=f（x）对定义域内任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，则函数y=f（x）是增函数．

A．①②③④

B．①②③

C．②③

D．③

Answer 1

分析：根据奇函数的定义域的特征，通过举反例得到①是错误的；根据函数单调增的定义，通过举反例得到②是错误的；运用基本不等式，结合对数函数y=lnx的单调性，可以证明出③是正确的；根据函数单调性的定义，结合题中条件，可以证明出④中的函数是单调减函数，故④错误，因此可得正确选项．

解答：解：对于①，两个奇函数的积在它们公共的定义域内仍然是奇函数，
但是如果它们的定义域的交集是空集，则它们的积构不成函数，
更谈不到奇偶性了，
比如：f（x）=

1-x2

x

是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数
g（x）=

x2-4

x

是定义在（-∞，-2]∪[2，+∞）上的奇函数
但y=f（x）g（x）的定义域是空集，不符合奇函数的定义，故①错误；
对于②，两个函数如果是恒为正值且为增函数，则它们积对应的函数还是增函数，
但是如果没有恒正的条件，积对应的函数则未必是增函数，
比如：f（x）=x在区间（0，+∞）上是增函数，
g（x）=-

1

x

在区间（0，+∞）上也是增函数，
但y=f（x）g（x）=-1是常数函数，不是增函数，故②错误；
对于③，函数y=lnx对任意x₁，x₂∈（0，+∞），
∵f(

x1+x2

2

)=ln

x1+x2

2

，

x1+x2

2

≥

x1x2

∴根据函数y=lnx是增函数，可得f(

x1+x2

2

)≥ln

x1x2

∵

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

 (lnx1+lnx2)=

1

2

ln(x1x2) =ln

x1x2

∴f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，故③正确；
对于④，函数y=f（x）对定义域内任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，说明当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂），
说明函数y=f（x）在其定义域上是一个减函数，故④错误．
综上所述，正确的命题只有③
故选D

点评：本题借助命题的真假判断与应用，着重考查了函数单调性、奇偶性的性质和对数函数图象与性质的综合应用等知识，属于中档题．