Question

【题目】已知函数，其中是自然对数的底数.

（1）证明是上的偶函数

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由 ，根据函数奇偶性的定义即可得是上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式，在上恒成立，进行转化为对任意恒成立 ,利用函数的单调性求最值即可求从实数的取值范围.

试题解析：（1）因为对任意,都有 ，

所以是R上的偶函数.

（2）由条件知在上恒成立,

令，则对任意 ,

所以对任意成立 ,

由对勾函数的单调性知 ,

所以 ,

因此，实数的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得实数的取值范围.