Question

已知a,b∈R且a≠0，求证：.

Answer 1

思路分析：本题中要证明的不等式，包含|a+b|,|a-b|,|a|-|b|，因而需要利用绝对值的不等式的性质，其中2|a|=|a+b+a-b|，是一种常用的拼凑法，其次，观察要证明的不等式，可以发现不等式的左边（|a|-|b|），可能为正值(|a|≥|b|时），也可能非正(|a|＜|b|时).因而，又涉及到分类讨论.

证明：（1）若|a|≥|b|,

左边=.

∵,

∴.

∴左边≥=右边.

(2)若|a|＜|b|,

    左边＞0,右边＜0,∴原不等式显然成立.

    综上可知原不等式成立.