Question

偶函数f（x）满足f（1-x）=f（l+x），且在x∈[0，1]时，f(x)=

2x-x2

，若直线kx-y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个交点，则k的取值范圈是（　　）

• A．（

  15

  15

  ，

  3

  3

  ）
• B．（

  3

  5

  ，

  5

  3

  ）
• C．（

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• D．（

  1

  15

  ，

  1

  3

  ）

Answer 1

分析：由f（1-x）=f（l+x），得到函数关于x=1对称，利用函数是偶函数，得到函数的周期，然后利用函数图象确定k的取值范围．

解答：解：由f（1-x）=f（l+x），得到函数关于x=1对称，
因为f（x）是偶函数，所以f（1-x）=f（l+x）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
所以函数的周期是2．由f(x)=

2x-x2

，得（x-1）²+y²=1，（y≥0），
作出函数f（x）和直线y=k（x+1）的图象，
要使直线kx-y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个交点，则由图象可知：

15

15

＜k＜

3

3

．
故选A．

点评：本题主要考查根的存在性及根的个数的判断，利用条件确定函数的周期性和对称性是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．