Question

用数学归纳法证明等式：1²-2²+3²-4²+…+（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）（n∈N^*）

Answer 1

分析：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．

解答：证明：（1）当n=1时，左边=1²-2²=-3，右边=-1×（2+1）=-3，
故左边=右边，
∴当n=1时，等式成立；
（2）假设n=k时，等式成立，
即1²-2²+3²-…+（2k-1）²-（2k）²=-k（2k+1）成立，
那么n=k+1时，左边=1²-2²+3²-…+（2k+1）²-（2k+2）²

=-k(2k+1)+[2(k+1)-1]2-[2(k+1)]2

=-k(2k+1)+(2k+1)2-4(k+1)2

=(2k+1)[(2k+1)-k]-4(k+1)2

=（k+1）（-2k-3）
=-（k+1）[2（k+1）+1]
综合（1）、（2）可知等式1²-2²+3²-4²++（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）对于任意正整数都成立．

点评：本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是要用上归纳假设．属于基础题．