【题目】已知抛物线
，过点
且互相垂直的两条动直线
、
与抛物线
分别交于
、
和
、
.
（1）求
的取值范围；
（2）记线段
和
的中点分别为
、
，求证：直线
恒过定点.
【答案】（1）
；（2）见解析.
【解析】
（1）设直线
的方程为
，设点
、
，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，利用弦长公式可得出
关于
的表达式，然后利用导数可求得的最小值；
（2）求出线段
的中点
的坐标，进而可得出点
的坐标，可求得直线
的方程，进而可得出直线所过定点的坐标.
（1）由题意可知两直线、
的斜率一定存在，且不等于
.
设
，，，则
.
联立直线与抛物线的方程，有
，
其中
，由韦达定理，有
.
所以
.
设
.
因为
，又因为
.
所以
在定义域内单调递增，易得
，
即当
时，
；当
时，
.
所以
时，
单调递减；
，单调递增，
所以在
处取得最小值
，且当
时，
.
故的最小值为
，因此，的取值范围是；
（2）因为由（1）有
，
，
所以中点E的坐标为
，同理点F的坐标为
.
于是，直线的斜率为
，
则直线的方程为
，
所以直线恒过定点
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：
方案① 多边形为直角三角形
（
），如图1所示，其中
；
方案② 多边形为等腰梯形
（
），如图2所示，其中
．
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
，
分别是双曲线
的左，右焦点，过点向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点
，直线
与
轴交于点
（，在
轴同侧），连接
，若
的内切圆圆心恰好落在以
为直径的圆上，则
的大小为________；双曲线的离心率为________．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了A，B两套测试方案，现各抽取
名员工参加A，B两套测试方案的预测试，统计成绩（满分分），得到如下频率分布表．
成绩频率 |
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方案A |
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|
方案B |
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（1）从预测试成绩在
的员工中随机抽取
人，记参加方案A的人数为
，求的最有可能的取值；
（2）由于方案A的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩
与绩效等级优秀率
，如下表所示：
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根据数据绘制散点图，初步判断，选用
作为回归方程．令
，经计算得
，
，
．
（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为
，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样本方差
，求某个部门绩效等级优秀率不低于
的概率为多少？
参考公式与数据：（1）
，
，
．
（2）线性回归方程
中，
，
．
（3）若随机变量
，则
，
，
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价
（单位：元/件）及相应月销量
（单位：万件），对近5个月的月销售单价
和月销售量
的数据进行了统计，得到如下表数据：
月销售单价 | 9 |
| 10 |
| 11 |
月销售量 | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
（Ⅰ）建立关于的回归直线方程；
（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过
万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？
（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？
参考公式：回归直线方程
，其中
，
．
参考数据：
，
．
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