Question

【题目】已知在四棱锥中，平面，，是边长为2的等边三角形，，为的中点．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由等腰三角形和线面垂直的性质可得，，由线面垂直的判定即可证明平面，再由线面垂直的性质即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用即可得解.

（1）证明：为等边三角形，为的中点，

，

又平面，平面，，

，，平面，平面，

又平面，.

（2）过点作，易知、、两两垂直；

以为原点，分别以、、作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图；

平面，直线与平面所成角，

，，

，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则即，令，则，

设平面的一个法向量为，

则即，令，则，

，

二面角的大小为.