Question

【题目】已知函数，，.

（1）当时，若对任意均有成立，求实数的取值范围；

（2）设直线与曲线和曲线相切，切点分别为，，其中.

①求证：；

②当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）依据题意得出，利用导数分别求出函数和在上的最小值和最大值，进而可求得实数的取值范围；

（2）①由题意可得，可得出，再由可得出结论；

②得到，设，利用导数求出函数的最大值，从而求出的范围即可．

（1）当时，，由，得，

依题意可得对任意的恒成立，

设，则.

当时，；当时，.

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.

设，则.

当时，；当时，.

所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即.

所以，.

因此，实数的取值范围是；

（2）由已知，.

①，则，

由，得.

.

，，即，所以；

②由①知，且，

由，得，

设，，

所以，函数在为减函数，，

由，，

又，.