Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设动直线：分别与曲线，相交于点，，求当为何值时，取最大值，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）曲线的极坐标方程是，曲线的直角坐标方程是；（2）当时，取最大值，且.

【解析】

（1） 将C1的参数方程消去可化为普通方程，再利用互化公式可得C1的极坐标方程．同理利用互化公式将C2的极坐标方程化为直角坐标方程．

（2）法一：将直线的参数方程分别代入曲线、的普通方程，求得，利用及三角函数的值域可得结果.

法二：将（ρ≥0），代入C1, C2的极坐标方程，分别解得：．由结合三角函数的值域可得结果．

（1）曲线的普通方程为，即.将，代入，

得，所以曲线的极坐标方程是.

由，得.将，代入，得，

所以曲线的直角坐标方程是.

（2）解法一：设直线的倾斜角为，则的参数方程为（为参数，且）.

将的参数方程代入曲线的普通方程，得，则.

将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，则.

所以 ，

据题意，直线的斜率存在且不为0，则，

所以当，即时，取最大值，且.

解法二：设直线的倾斜角为，则的极坐标方程为.

设点，的极坐标分别为，，则，.

所以 .

据题意，直线的斜率存在且不为0，则，

所以当，即时，取最大值，且.