Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆短轴的两个端点与两个焦点围成正方形，右准线与x轴的交点为E，右焦点为F₂，且|F₂E|=1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过F₂的直线交椭圆于A．B两点，且

OA

+

OB

与向量（1，-

2

4

）共线（O为坐标原点），求

OA

与

OB

的夹角．

Answer 1

分析：（1）由题设知

c a = 2 2 a2 c -c=1

，由此能得到所求椭圆．
（2）当直线AB的斜率不存在时，

OA

+

OB

=(2，0)，不合题意．当直线AB的斜面率为k时，其方程为y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

，结合

OA

+

OB

与向量（1，-

2

4

）共线由题意得

2k

1+2k2

=

2 k 2

1+2k2

，由此能求出

OA

与

OB

的夹角．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由

c a = 2 2 a2 c -c=1

，得a=

2

，c=1，b=1，
∴所求椭圆为

x2

2

+y2=1．
（2）当直线AB的斜率不存在时，

OA

+

OB

=(2，0)，不合题意．
当直线AB的斜面率为k时，其方程为y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

，
∴

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=(x1+x2，k(x1+x2-2))
=(

4k2

1+2k2

，

-2k

1+2k2

)，
由题意得

2k

1+2k2

=

2 k 2

1+2k2

，
∴k=0或k=

2

．
当k=0时，

OA

与

OB

的夹角为π．
当k=

2

时，∵

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=

2

5

+2[

2

5

-

8

5

+1]=0，
∴

OA

与

OB

的夹角为

π

2

．

点评：本题考查椭圆的方程和求

OA

与

OB

的夹角．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．