Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．求证：

OM

•

OP

为定值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的几何性质求出a、b的值，从而写出标准方程．
（2）设M（2，y₀），写出直线CM的方程，并把它代入椭圆的方程，可求P的坐标，进而得到向量OM、OP的坐标，计算这2个向量坐标的数量积，得出定值．

解答：解：（1）∵左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形，
∴a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y₀），P（x₁，y₁），
则

OP

=(x1，y1)，

OM

=(2，y0)．
直线CM：y-0=

y0

4

（x+2），即 y=

y0

4

x+

1

2

y0．（6分）
代入椭圆x²+2y²=4，得(1+

y 2 0

8

)x2+

1

2

y

2 0

x+

1

2

y

2 0

-4=0，故次方程的两个根分别为-2和x₁，（8分）
由韦达定理可得x₁-2=

-4y02

y02+8

，∴x1= 

-2y02+16

y 2 0 +8

，∴y1=

8y0

y 2 0 +8

．
∴

OP

=( 

-2y02+16

y 2 0 +8

，

8y0

y 2 0 +8

)，（10分）
∴

OP

• 

OM

= 

-4y02+32

y 2 0 +8

+

8y02

y02+8

=

4y02+32

y02+8

=4 （定值）．（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法、2个向量的数量积公式的应用，及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．