Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求二面角F-BE-C的大小．

Answer 1

分析：取CE中点G，以F为原点，FG为y轴，FB为y轴，FA为x轴，建立空间直角坐标系，写处相关点的坐标，（1）只需证明

AF

=

BG

，即可利用线面平行的判定定理得证；（2）只需证明

DG

•

CE

=0，

DG

•

BG

=0，即可利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明结论；（3）由（2）得平面BCE的法向量为

DG

，求平面EFB的法向量

n

，利用空间向量夹角公式即可得二面角的余弦值

解答：解：如图：取CE中点G，连接FG，DG，BG，则FG∥DE
∵DE⊥平面ACD，
∴FG⊥平面ACD
∵三角形ACD为等边三角形
∴AF⊥CD
以F为原点建立如图空间直角坐标系，设AD=2
则A（-

3

，0，0），B（-

3

，0，1），C（0，-1，0），D（0，1，0）
E（0，1，2），F（0，0，0），G（0，0，1）
（1）∵

AF

=（

3

，0，0），

BG

=（

3

，0，0）
∴

AF

=

BG

∴AF∥BG，BG?平面BCE，AF?平面BCE
∴AF∥平面BCE
（2）∵

DG

=（0，-1，1），

CE

=（0，2，2），

BG

=（

3

，0，0）
∴

DG

•

CE

=0+（-2）+2=0，

DG

•

BG

=0+0+0=0
∴DG⊥CE，DG⊥BG，CE∩BG=G
∴DG⊥平面BCE，DG?平面CDE
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）由（2）知，平面BCE的法向量为

DG

=（0，-1，1），
设平面BEF的法向量为

n

=（x，y，z）
∵

FE

=（0，1，2），

FB

=（-

3

，0，1）
∴

n • FE =y+2z=0 n • FB =- 3 x+z=0

取

n

=（

3

，-6，3）
∴cos＜

n

，

DG

＞=

n • DG

| n | | DG |

=

6+3

3+36+9 • 2

=

9

4 6

=

9 6

24

=

3 6

8

∴二面角F-BE-C的大小为arccos

3 6

8

点评：本题考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，二面角的求法，空间向量及空间直角坐标系在立体几何中的应用