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    已知数列，满足：，当时，；对于任意的正整数，．设的前项和为.

    （1）计算，并求数列的通项公式；

    （2）求满足的的集合.

     

    【答案】

    （1）（2）

    【解析】(1)先求出数列的通项公式是求解本题的关键.由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，故是公差为的等差数列.

    （2）在第（1）问的基础上，可求出{}的通项公式，进而求出的通项公式.

    然后再根据通项公式的特点采用数列求和的方法求和,之后再确定sn的单调性进而确定其取值范围.

    解：（1）在中，取，得，又，，故同样取可得……………………分

    由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，故是公差为的等差数列，……………………分

    注：猜想而未能证明的扣分；用数学归纳法证明不扣分.

    （2）在中令得……………………分

    又，与两式相减可得：，，即当时， 

    经检验，也符合该式，所以，的通项公式为………………9分

    .

    相减可得：

    利用等比数列求和公式并化简得：……………………11分

    可见，，……………………12分

    经计算，，注意到 的各项为正，故单调递增，所以满足的的集合为……………………14分.

     

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