Question

设函数f（x）=

a2x-(t-1)

ax

（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的反函数过点(

3

2

，1)，是否存在正数m，且m≠1使函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log₂3]上的最大值为0，若存在求出m的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=

a2x-(t-1)

ax

（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，即

a0-(t-1)

a0

=0，
∴t=2；
（2）由（1）可知，t=2，
∴f（x）=

a2x-1

ax

，
∵f（1）＞0，
∴

a2-1

a

＞0，即

(a+1)(a-1)

a

＞0，
又∵a＞0，
∴a＞1，
∵f（x）为奇函数，
∴-f（x-1）=f（1-x），
∴不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立，即f（kx-x²）＜f（1-x）对一切x∈R恒成立，
∵a＞1，则y=a^x在R上为单调递增函数，
∴f（x）=

a2x-1

ax

=ax-

1

ax

在R上为单调递增函数，
∴kx-x²＜1-x对一切x∈R恒成立，即x²-（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，
∴△=（k+1）²-4＜0，即k²+2k-3＜0，
∴-3＜k＜1，
∴实数k的取值范围为-3＜k＜1；
（3）假设存在正数m，且m≠1符合题意，
∵函数f（x）的反函数过点（

3

2

，1），
∴

3

2

=

a2-1

a

，
∴a=-

1

2

或a=2，
∵a＞0，
∴a=2，
∵g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]，
∴g（x）=log_m[(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2]，
令t=2^x-2^-x，
∴（2^x-2^-x）-m（2^x-2^-x）+2=t²-mt+2，
∵x∈[1，log23]，
∴t∈[

3

2

，

8

3

]，
记h（t）=t²-mt+2，
∵函数g（x）=log_m[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log₂³]上的最大值为0，
①当0＜m＜1时，y=log_mh（t）是单调递减函数，
∴函数h（t）=t²-mt+2在[

3

2

，

8

3

]有最小值1，
∵对称轴t=

m

2

＜

1

2

，
∴函数h（t）在[

3

2

，

8

3

]上单调递增，
∴h（t）_min=h（

3

2

）=

17

4

-

3

2

m=1，
∴m=

13

6

，
∵0＜m＜1，
∴m=

13

6

不符合题意；
②当m＞1时，则函数h（t）＞0在[

3

2

，

8

3

]上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，
∵函数h（t）=t²-mt+2在[

3

2

，

8

3

]有最大值1，h（t）的对称轴为x=

m

2

，
（i）当

m

2

＜

25

12

，即m＜

25

6

时，
当t=

8

3

时，h（t）取得最大值h（

8

3

）=

82

9

-

8m

3

=1，
∴m=

73

24

，
又∵

m

2

=

73

48

∈[

3

2

，

8

3

]，
∴当t=

73

48

时，h（t）取得最小值h（

73

48

）＜0，
∴g（x）在[1，log₂³]无意义，
∴m=

73

24

不符合题意；
（ii）当

m

2

≥

25

12

，即m≥

25

6

时，
当t=

3

2

时，h（t）取得最大值h（

3

2

）=

17

4

-

3m

2

=1，
∴m=

13

6

，
∵m≥

25

6

，
∴m=

13

6

不符合题意．
综上所述，不存在正数m，使函数g（x）在[1，log₂³]上的最大值为0．