Question

已知圆C₁的方程为x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求当圆的面积最大时圆C₁的标准方程；
（3）求（2）中求得的圆C₁关于直线l：x-y+1=0对称的圆C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意得，D²+E²-4F=16+4m²-4（2m²-2m+1）＞0，解此一元二次不等式求的实数m的取值范围．
（2）圆的面积最大，即圆的半径最大，根据圆的半径r=

-(m-1)2+4

可得当m=1时圆的半径最大，且为2，由此求得圆C₁的方程．
（3）由（2）可得圆C₁的圆心坐标为（2，-1）、半径等于2，设圆C₂的坐标为（a，b），利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，求出a、b的值，即可求得圆C₂的方程．

解答：解：（1）由题意，得：D²+E²-4F=16+4m²-4（2m²-2m+1）＞0，
即m²-2m-3＜0，∴（m-3）（m+1）＜0，∴-1＜m＜3，
故所求实数m的范围是-1＜m＜3．
（2）圆的面积最大，即圆的半径最大．
圆的半径r=

1

2

D2+E2-4F

=

1

2

-4m2+8m+12

=

-m2+2m+3

，
∴r=

-(m-1)2+4

，因此当m=1时圆的半径最大，且为2，
所以圆C₁的方程为x²+y²-4x+2y+1=0，标准方程为（x-2）²+（y+1）²=4．
（3）由（2）可得圆C₁的圆心坐标为（2，-1）、半径等于2，设圆C₂的坐标为（a，b），
则C₁C₂的中点为（

a+2

2

，

b-1

2

），且C₁C₂的斜率为 k=

b+1

a-2

．
由题意可得，直线l垂直平分线段C₁C₂，∴

a+2 2 -  b-1 2 +1 =0 b+1 a-2 =-1

，解得

a=-2 b=3

．
故所求的圆C₂的方程为 （x+2）²+（y-3）²=4．

点评：本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，求圆的标准方程的方法，属于中档题．