Question

．本小题满分15分）
如图，已知椭圆E：，焦点为、，双曲线G：的顶点是该椭圆的焦点，设是双曲线G上异于顶点的任一点，直线、与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为.

（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线、的斜率分别为和，探求
和的关系；
（3）是否存在常数，使得恒成立？
若存在，试求出的值；若不存在， 请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知，椭圆中 
所以椭圆的标准方程为              …………2分
又顶点与焦点重合，所以；   
所以该双曲线的标准方程为。   …………4分 
（2）设点            
在双曲线上，所以          所以  …………8分
（3）设直线AB：    
由方程组得    ………10分
设
所以        
由弦长公式   
同理       ………12分
由代入得        ………13分
    
所以存在使得成立。   ………15分

解析