Question

已知函数f(x)=2x2+2x+a(-2≤x≤2)
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的最大值为64，求f（x）最小值．

Answer 1

分析：（1）令t=x²+2x+a，本题即求函数t在[-2，2]上的单调区间，利用二次函数的性质可得函数t的减区间和增区间．
（2）根据-2≤x≤2，求得t=（x+1）²+a-1的范围，再根据f（x）的最大值为64=2^a+8，求得 a的值，可得f（x）的最小值．

解答：解：（1）令t=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，∵-2≤x≤2，
再根据f（x）=2^t，故本题即求函数t在[-2，2]上的单调区间．
结合二次函数的性质可得函数t的减区间为[-2，-1]，增区间为 （-1 2]．
（2）∵-2≤x≤2，t=（x+1）²+a-1，
∴x=-1时，t取得最小值为a-1，
当x=2时，函数t取得最大值为a+8．
再根据f（x）的最大值为64=2^a+8，求得 a=-2，
故f（x）的最小值为2^a-1=2^-3=

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8

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点评：本题主要考查复合函数的单调性和值域，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．