Question

10．直线y=kx-2交抛物线y²=x于A、B两点，（1）求k的取值范围；（2）若AB的中点横坐标为2，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）由直线与抛物线有两个交点，得到方程组有两个不同的解，利用判别式大于0求k 的范围．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{y=kx-2}\end{array}\right.$，得ky²-y-2=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{y=kx-2}\end{array}\right.$，得ky²-y-2=0，直线与抛物线有两个交点，则k≠0，△=1+8k＞0，解之k＞$-\frac{1}{8}$且k≠0；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{y=kx-2}\end{array}\right.$，得ky²-y-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k≠0，且1+8k＞0，即k＞-$\frac{1}{8}$且k≠0；
由韦达定理得：x₁+x₂=$\frac{1}{k}$，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2，所以$\frac{1}{k}=4$，即k=$\frac{1}{4}$，$\sqrt{1+\frac{1}{16}}\sqrt{{4}^{2}+4×8}$=$\sqrt{51}$，
则|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{16}}\sqrt{{4}^{2}+4×8}$=$\sqrt{51}$．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．