Question

【题目】已知函数，其中e是自然对数的底数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）增区间是，减区间是.（2）见解析

【解析】

（1）求导函数，分别令，解出不等式，即可得到函数的单调区间；

（2）由 得方程 ，显然 为此方程的一个实数解.当时, 方程可化简为，设函数利用导数得到 的最小值, 因为，再对讨论，得到函数的零点个数.

解：（1）因为，所以.

由得；由得.

所以由的增区间是，减区间是.

（2）因为.

由，得或.

设，又即不是的零点，

故只需再讨论函数零点的个数.

因为，

所以当时，单调递减；

当时，单调递增.

所以当时，取得最小值.

①当即时，无零点；

②当即时， 有唯一零点；

③当，即时，因为，

所以在上有且只有一个零点.

令则.

设，

所以在上单调递增，

所以，都有.

所以.

所以在上有且只有一个零点.

所以当时，有两个零点

综上所述，当时，有一个零点；

当时，有两个零点；

当时，有三个零点.