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    已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
    （Ⅰ）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
    （Ⅱ）问是否存在等腰直角三角形AnBnAn+1？请说明理由．
    【答案】分析：（Ⅰ）由点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形，则有|AnBn|=|An+1Bn|得到xn+1+xn=2n，从而有xn+2+xn+1=2（n+1）两式作差求解．
    （Ⅱ）假设存在等腰直角三角形AnBnAn+1，．在Rt△AnBnAn+1中，．由n为正奇数时，|xn+1-xn|=2（1-a），故有，即即0＜n＜4．n=1，3使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形．当n为正偶数时，|xn+1-xn|有，即，当n=2时，使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形．
    解答：解：（Ⅰ）由题意得，An（xn，0），An+1（xn+1，0），
    ∵点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形，
    ∴|AnBn|=|An+1Bn|，即
    得xn2-2nxn=xn+12-2nxn+1⇒（xn+1-xn）（xn+1+xn）=2n（xn+1-xn）
    又∵xn+1≠xn，∴xn+1+xn=2n，①
    则xn+2+xn+1=2（n+1）②
    由②-①得，xn+2-xn=2，即xn+2-xn是常数．（6分）
    即所列{x2k-1}，{x2k}（k∈N*）都是等差数列．
    （注：可以直接由图象得到，即xn+xn+1=2n，（n∈N*））
    当n为正奇数时，，
    当n为正偶数时，由x2+x1=2得，x2=2-a，故，
    ∴．（8分）
    （Ⅱ）假设存在等腰直角三角形AnBnAn+1，由题意∠AnBnAn+1=90°．
    在Rt△AnBnAn+1中，．（10分）
    当n为正奇数时，xn=a+n-1，xn+1=n+1-a，
    ∴|xn+1-xn|=|n+1-a-a-n+1|=|2-2a|=2（1-a），故有，即，
    又∵0＜a＜1，∴0＜1-a＜1，∴，即0＜n＜4，
    ∴当n=1，3时，使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形．（12分）
    当n为正偶数时，xn=n-a，xn+1=a+n+1-1=a+n，
    ∴|xn+1-xn|=|a+n-n+a|=|2a|=2a，故有，即，
    又∵0＜a＜1，∴，即0＜n＜4，
    ∴当n=2时，使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形．（14分）
    综上所述，当n=1，2，3时，使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形．（16分）
    点评：本题主要考查解析几何与数列的综合问题，涉及到求数列的通项公式，两点间的距离公式以及分类讨论，数形结合等思想．
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    （Ⅰ）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
    （Ⅱ）问是否存在等腰直角三角形AnBnAn+1？请说明理由．

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    Bn为顶点的等腰三角形．
    （1）求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
    （2）试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
    （3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．

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    x4
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    （1）证明：数列{yn}是等差数列；
    （2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
    （3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

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    1
    4
    x+
    1
    12
    图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形．
    （1）求数列{yn}2的通项公式，并证明{yn}3是等差数列；
    （2）证明xn+2-xn5为常数，并求出数列{xn}6的通项公式；
    （3）问上述等腰三角形An8Bn9An+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．

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    （1）求数列{an}，{cn}的通项公式；
    （2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
    （3）设数列{
    1
    an•(
    3
    2
    +cn)
    }的前n项和为Sn，求证：
    2
    3
    ≤Sn＜
    4
    3
    ．

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