Question

【题目】函数，其中，.

（1）若为定值，求的最大值；

（2）求证：对任意，有 ；

（3）若，，求证：对任意，直线与曲线有唯一公共点.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明；（3）见证明；

【解析】

（1）n看作常数，函数求导后令导数等于零，可得，可知函数在处有极大值，可得函数最大值（2）取得，利用放缩法得 ，再根据裂项相消法求和即可（3）要证明当，时，关于的方程有唯一解，令，即证明有唯一零点，再利用导数得函数单调性，极值确定函数大致图象，证明只有唯一零点即可.

（1）为定值，故，令，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有极大值 ，也是最大值，所以.

（2）由前一问可知，取得，于是

.

（3）要证明当，时，关于的方程有唯一解，令，即证明有唯一零点，先证明存在零点，再利用导数得函数单调性，极值确定函数只有唯一零点.

我们先证三个引理

【引理1】

（由第1问取即可）

【引理2】

（由【引理1】变形得到）

【引理3】

（可直接证明也可由【引理2推出】

证明：.

下面我们先证明函数存在零点，先由【引理2】得到：

.

令，可知.再由【引理3】得到，于是

.

令，且，可知.由连续性可知该函数一定存在零点.

下面我们开始证明函数最多只能有一个零点.我们有

.

令，则，则在递增，在递减，即.

当时，有恒成立，在上递增，所以最多一个零点.

当时，令，，即，于是

.

再令，由【引理1】可以得到.

因此函数在递增，递减，递增，时，有极大值但其极大值，所以最多只有一个零点.

综上，当，时，函数与的图像有唯一交点.