Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-

11

14

．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由cos（B+C）的值求出sin（B+C）的值，将cosC表示为cos[（B+C）-B]，利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值；
（2）由cosC的值求出sinC的值，由sin（B+C）的值确定出sinA的值，利用余弦定理化简已知等式，求出a的值，再利用正弦定理求出c的值，最后利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．

解答：解：（1）在△ABC中，cos（B+C）=-

11

14

，
∴sin（B+C）=

1-(- 11 14 )2

=

5 3

14

，
∵B=60°，
∴cosC=cos[（B+C）-B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB=-

11

14

×

1

2

+

5 3

14

×

3

2

=

1

7

；
（2）由（1）得：sinC=

1-cos2C

=

4 3

7

，sinA=sin（B+C）=

5 3

14

，
由余弦定理化简bcosC+acosB=5，
得：b•

a2+b2-c2

2ab

+c•

a2+c2-b2

2ac

=5，
整理得：a²-5a=0，即a（a-5）=0，
解得：a=5，
在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，
得：c=

asinC

sinA

=

5× 4 3 7

5 3 14

=8，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×5×8×

3

2

=10

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．