Question

【题目】己知是各项都为正数的数列，其前n项和为，且.

（1）求证：为等差数列；

（2）设，求的前n项和；

（3）求集合.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）

【解析】

（1）由消掉，再根据等差数列的定义即可证明；

（2）由（1）得，则，由此可求得()，则，分奇偶数即可求出；

（3）由得，设，则，则，由此可得当时，，记，则，，得，记，邻项法可得数列单调递减，可得n≥3时，恒成立，进而可求出答案．

解：（1）∵，∴，

当n≥2，时，，

即(n≥2，)，

又n＝1时，，得（舍负），

∴是以1为首项，1为公差的等差数列；

（2）由（1）知，，

又是各项都为正数，，∴，

当n≥2，时，，

又，∴()，

于是，

当n为奇数时，

，

当n为偶数时，

，

∴；

（3）由得，即，

设，则，

∴，

由，，

∴，则，

当时，显然不成立；

当时，，则，

记，则，，得，

记，则恒成立，

故数列单调递减，

又，，，则n≥3时，恒成立，

从而方程的解为t＝1，p＝2或t＝2，p＝1，

∴满足条件的m，p存在，m＝4，p＝1或m＝4，p＝2，

∴．