Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，又f（1）=0，则满足（x-1）f（lnx）＞0的x的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：画出函数f（x）的单调性示意图，故由（x-1）f（lnx）＞0 可得①

x＞1 f(lnx)＞0

或②

x＜1 f(lnx)＜0

．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：由题意可得，函数f（x）的图象关于y轴对称，
f（x）在（-∞，0]上是减函数，且f（-1）=0．
函数f（x）的单调性示意图如图所示：
故由（x-1）f（lnx）＞0 可得，
①

x＞1 f(lnx)＞0

或 ②

x＜1 f(lnx)＜0

．
由①可得 

x＞1 lnx＞1 ，或lnx＜-1

，
解得 x＞e．
由②可得

x＜1 0＜lnx＜1 ，或-1＜lnx＜0

，
解得

1

e

＜x＜1．
综上可得，（x-1）f（lnx）＞0的解集为(

1

e

，1)∪(e，+∞)，
故答案为：(

1

e

，1)∪(e，+∞)．

点评：本题主要考查求函数的单调性和奇偶性的应用，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．