Question

【题目】多面体， ， ， ， ， ， ， 在平面上的射影是线段的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）过E作EO∥A1A交AB于O，连接CO，证明四边形OEC1C是平行四边形，推出C1E⊥面ABB1A1，得到CO⊥面ABB1A1，然后证明面ABC⊥面ABB1A1；
（Ⅱ）以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面AB1C1的法向量，底面A1B1BA的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

试题解析：

(1)证明：过E作EO∥A交AB于O，连接CO，

由梯形的中位线知： ，

∴,又，

故四边形OEC是平行四边形，

∴E⊥面，则CO⊥面，

又CO在面ABC内，

∴面ABC⊥面；

（2）如图以点O为坐标原点建立空间直角坐标系, ，

设面的法向量为，

则即.

不妨令，得.

设面的法向量为

则即.

不妨令，得.

.

所求二面角的平面角为锐角，故余弦值.