Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，其中a为实常数．
（1）若函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（2）当x∈[0，1]时，不等式|x﹣2|≥f（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+a|≥|（x﹣1）﹣（x+a）|=|a+1|，

当且仅当（x﹣1）（x+a）≤0时取等号，

∴f（x）min=|a+1|，

由|a+1|=2，解得：a=1或a=﹣3；

（2）解：当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1+|x+a|，

而|x﹣2|=﹣x+2，

由|x﹣2|≥f（x）恒成立，

得﹣x+2≥﹣x+1+|x+a|，

即|x+a|≤1，解得：﹣1﹣a≤x≤1﹣a，

由题意得[0，1][﹣1﹣a，1﹣a]，

则 ，即﹣1≤a≤0

【解析】（1）求出f（x）的最小值，得到|a+1|=2，解出a的值即可；（2）问题转化为|x+a|≤1，求出x的范围，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．