Question

已知x²+px+q＜0的解集为{x|-2＜x＜3}，若f（x）=qx²+px+1
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若f(x)＜

a

6

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵求不等式x²+px+q＜0的解集为{x|-2＜x＜3}，
∴-2，3是对应方程x²+px+q=0的两个根，
则

-2+3=-p -2×3=q

，解得

p=-1 q=-6

，
即f（x）=qx²+px+1=-6x²-x+1，
由f（x）＞0得-6x²-x+1＞0，
即6x²+x-1＜0，
（2x+1）（3x-1）＜0，
解得-

1

2

＜x＜

1

3

，
即不等式f（x）＞0的解集是（-

1

2

，

1

3

），
（2）若f(x)＜

a

6

恒成立，即球f（x）的最大值即可，
∵f（x）=-6x²-x+1=-6（x+

1

12

）²+

25

24

，
∴当x=-

1

12

时，f（x）的最大值为

25

24

，
∴要使若f(x)＜

a

6

恒成立，
则

25

24

＜

a

6

，
即a＞

25

4

，
即a的取值范围（

25

4

，+∞）．